De flesta av oss har någon gång suttit med ett mattetal där cirkelns area ska fram – och ändå är det lätt att blanda ihop radie, diameter och omkrets när formeln väl ska användas. En bit av svaret är att en halvcirkel, precis som Högskoleporten (matematikguide om cirkelns omkrets och area) uttrycker det, är hälften av en hel cirkel, vilket gör både halvcirkeln och cirkelsektorn lättare att förstå.
Grundformel: A = π × r² ·
Pi (π): ≈ 3,14159 ·
Halvcirkel: A = ½ × π × r² ·
Cirkelsektor: A = (v/360°) × π × r²
Snabbfakta
Det är lätt att förväxla radien med diametern när man väljer siffra, men sambandet mellan dem är konsekvent: radien är alltid hälften av diametern. Därför räcker det att hålla reda på grundformeln för att komma vidare till både halvcirkeln och cirkelsektorn.
| Begrepp | Betydelse |
|---|---|
| Radie (r) | Avståndet från medelpunkten till cirkelns kant. Halva diametern. |
| Diameter (d) | 2 × radien. Sträckan tvärs genom cirkeln. |
| Omkrets | Längden av cirkelns kant, till exempel O = 2πr. |
| Area | Ytan innanför omkretsen, till exempel A = πr². |
| Halvcirkel | Hälften av en hel cirkel. |
| Cirkelsektor 180° | En halvcirkel. |
Hur räknar man ut arean av en cirkel?
Formeln är densamma överallt: A = π × r². Här är r radien, alltså avståndet från medelpunkten ut till cirkelns kant. Matteboken.se utgår från samma samband när cirkelns area ska beräknas.
- Ta reda på radien.
- Multiplicera radien med sig själv, alltså beräkna r².
- Multiplicera resultatet med π ≈ 3,14159.
Har en cirkel radien 5 cm blir alltså A = π × 5² = 25π cm², vilket är ungefär 78,54 cm². Hade du i stället fått diametern 10 cm, så halverar du först diametern till radien 5 cm och använder sedan samma formel.
Slutsats: när radien är känd är uträkningen två steg bort – först r², sedan π.
Hur hittar man radie, diameter och mittpunkt?
Om du känner arean kan du räkna ut radien med r = √(A/π). Diametern är alltid 2 × r. För att hitta mittpunkten på en ritad cirkel kan du dra två kordor och deras mittpunktsnormaler – där normalerna skär varandra ligger medelpunkten.
Hur räknar man ut arean på en halvcirkel och cirkelsektor?
Area av en halvcirkel
En halvcirkel är hälften av en hel cirkel.
– Högskoleporten
Eftersom en halvcirkel är hälften av en hel cirkel blir formeln A = ½ × π × r². Det betyder att du kan räkna ut hela cirkelns area och sedan dela med 2.
Exempel med radien 4 cm:
A = ½ × π × 4² = ½ × π × 16 = 8π cm², vilket är ungefär 25,13 cm².
En halvcirkel är också ett specialfall av en cirkelsektor: när vinkeln är 180° täcker sektorn precis hälften av hela cirkeln. Det sambandet brukar finnas med när BBC Bitesize beskriver cirklar och sektorer.
Slutsats: har du redan räknat ut hela cirkelns area behöver du bara dividera med 2 för att få halvcirkelns area.
Area av en cirkelsektor
En cirkelsektor är en tårtbitsformad del av en cirkel. Det finns också en mer teknisk definition: en cirkelsektor är ett område begränsat av en cirkelbåge och radierna till bågens ändpunkter. Båda beskrivningarna säger samma sak – vinkeln i mitten avgör hur stor del av cirkeln som sektorn täcker.
Formeln för en cirkelsektor är:
A = (v/360°) × π × r²
där v är vinkeln i mitten av cirkeln. Matteboken.se använder samma uppställning när en sektor ska räknas ut.
En cirkelsektor är ett område begränsat av en cirkelbåge och radierna till bågens ändpunkter.
Exempel: en cirkelsektor har radien 6 cm och vinkeln 60°. Då blir arean:
A = (60/360) × π × 6² = (1/6) × π × 36 = 6π cm², vilket är ungefär 18,85 cm².
Slutsats: cirkelsektorns formel är alltså bara grundformeln för en hel cirkel, men anpassad till hur stor del av vinkeln som sektorn täcker.
Vilka samband gäller för vanliga vinklar?
Det enklaste sättet att tänka är att vinkeln v anger hur stor del av hela cirkeln som sektorn täcker. Här är några vanliga samband:
- 90°: sektorn täcker 90/360 = 1/4 av hela cirkelns area.
- 180°: sektorn är en halvcirkel och täcker hälften av hela cirkelns area.
BBC Bitesize beskriver just att en sektor på 180° är en halvcirkel – arean blir alltså hälften av hela cirkelns area. Det stämmer också med Matematikminimumns beskrivning av att radierna tillsammans kan bilda en diameter och på så sätt skapa en halvcirkel.
Att hålla koll på: vinkeln 90° ger en fjärdedel, vinkeln 180° ger en halvcirkel. Då slipper du komma ihåg två formler – räcka att utgå från (v/360°).
Är area och omkrets samma sak?
Omkrets och area mäter olika saker och har därför olika enheter. Omkretsen är längden av cirkelns kant, exempelvis i centimeter. Arean är ytan innanför kanten, exempelvis i kvadratcentimeter. En krökt linje – cirkelns kant – har ingen egen area, och det är just där det kan bli förväxlingar.
Det här stämmer
- En halvcirkel är hälften av en hel cirkel. Högskoleporten
- En cirkelsektor på 180° är en halvcirkel. BBC Bitesize
- Formeln för en cirkelsektor utgår från vinkeln dividerad med 360°. Matteboken.se
Vanligt, men fel
- Att man kan byta ut radien mot diametern i grundformeln utan att ändra något. Så fungerar det inte: om du sätter in diametern i stället för radien i A = πr², blir arean fel. Rätt väg är att halvera diametern först, eftersom r = d/2.
- Att en cirkel har sidor på samma sätt som en månghörning. Cirkeln bestäms i stället av en krökt linje, och det är därför omkretsen mäts som en längd medan arean mäts i kvadratenheter.
- Att π är exakt 3,14 – i själva verket är π ≈ 3,14159 och har oändligt många decimaler.
Slutsats: cirkelns area är inte svårare än att allt utgår från π × r². Halvcirkeln och cirkelsektorn är bara anpassningar av samma grundidé – antingen delar du med 2 eller multiplicerar med vinkeln delat med 360°.
Relaterad läsning: 1 dl ris i gram – exakt omvandlingstabell · Kinesiska murens längd – officiella mått
omnicalculator.com, hpspelet.se, staffanwohrne.se, majalin.se, matematikk.org, en.wikipedia.org
Vanliga frågor
Vad kallas en del av en cirkel?
En sådan del kallas cirkelsektor. Enligt Högskoleporten är en cirkelsektor en tårtbitsformad del av en cirkel. Om vinkeln är 180° är sektorn dessutom en halvcirkel.
Vad är skillnaden mellan omkrets och area?
Omkretsen är längden av cirkelns kant. Arean är ytan innanför kanten. Omkrets mäts i vanliga längdenheter, till exempel centimeter, medan area mäts i kvadratenheter, till exempel kvadratcentimeter.
Hur räknar man ut en cirkelsektorns area?
Du använder formeln A = (v/360°) × π × r², där v är vinkeln i mitten av cirkeln. Formeln finns också beskriven hos Matteboken.se.
Hur räknar man ut arean av en halvcirkel?
En halvcirkel är hälften av en hel cirkel, så arean blir A = ½ × π × r². Har du redan räknat ut hela cirkelns area kan du alltså dividera med 2.
Kan man räkna ut arean om man bara vet omkretsen?
Ja. Om du känner omkretsen C kan du räkna ut radien som C/(2π) och sedan använda A = π × r². Exempel: har en cirkel omkretsen 31,4 cm är radien 5 cm och arean ungefär 78,5 cm².
Relaterade artiklar
Isabelle Månsson bevakar scenkonst, litteratur och konst på Produktionstorget.